Bach, Escher et Godel, ou les paradoxes de l’intelligence artificielle

Chercheur en informatique, et en intelligence artificielle, fils d’un prix Nobel de physique, Douglas Hofstadter écrit en 1979 « Gödel, Escher et Bach », qui reçoit le prix Pulitzer. Cette œuvre est une ouverture sur les connaissances de la machine et de la pensée, en la confrontant à divers domaines. Telle la musique (Bach), graphique (Escher), les théories des mathématiques. Un échange pluridisciplinaire qui met en lumière : les mécanismes de la pensée, la possibilité de la machine à penser. Par des exemples subtils. Et qui marquera une génération de chercheurs en intelligence artificielle.

Canon et fugues.

« Le principe essentiel du canon est celui de l’imitation d’un thème unique. Des « copies » du thème sont jouées par les différentes voix de la construction. Le canon le plus simple est le canon circulaire, comme « Frère Jacques ». Le thème est introduit pour la première voix, puis, après un intervalle déterminé, une « copie » est introduite dans la même tonalité. Après le même intervalle par rapport à la première voix, la troisième voix est introduite, etc… Pour qu’un thème puisse servir de thème à un canon, il faut que chacune des voix puisse jouer un double rôle : elles doivent tout d’abord faire partie d’une mélodie, et ensuite faire partie d’une harmonisation de cette mélodie. Chacune des notes d’un canon a donc plusieurs significations musicales et l’œil et le cerveau de l’auditeur repèrent automatiquement la signification appropriée en se référant au contexte ».

Il existe des cannons plus complexes. On peut décaler dans le temps le canon, mais aussi en hauteur. ( en do, le second en sol..) ; ou en vitesse. ( on parle de canon par diminution ou augmentation ).

Le degré suivant de complexité est l’inversion de thème. Le thème original monte d’un même nombre de demi-tons. « Bach aimait tout particulièrement les inversions, qui sont nombreuses dans son œuvre, notamment « l’offrande musicale » ».

« Il est intéressant de noter que tous les types de « copie » sauvegardent la totalité des informations du thème original, en ce sens que l’on pourrait retrouver intégralement le thème à partir de n’importe laquelle des copies ». Ce type de transformation qu’on appelle isomorphisme. La fugue est semblable au canon, mais sa structure moins rigide permet une expression artistique et émotionnelle plus libre.

Ces structures musicales, complexes, sont déchiffrables. Et Bach de noter sur ses partitions « Quaerando invenietis » : « cherchez et vous trouverez ».

Canon éternellement remontant.

« Le canon « canon per tonos », de l’Offrande musicale est intéressant. La voix la plus haute chante une variation du thème centrale. Les voix plus basses se décalent sur différents tons. Mais le thème au-delà de six modulations revient, sous le nez de l’auditeur au même ton ; et son canon est construit de telle sorte que cette « fin » se rattache sans heurt au début. Les modulations successives amènent l’oreille dans des régions de tonalités de plus en plus éloignées. Ce qui laisserait croire que l’on s’éloigne irrémédiablement de la tonalité de départ. Or, comme par magie, après exactement 6 modulations, on retrouve la tonalité d’origine ». « Pour accentuer son aspect potentiellement infini, je l’appellerai le Canon Eternellement Remontant ».

« Dans ce canon, Bach nous a donné un premier exemple de Boucle Etrange. Le phénomène de Boucle Etrange se produit à chaque fois que, à la suite d’une élévation ( ou d’une descente ) d’un système hiérarchique quelconque, nous nous retrouvons, à notre grande surprise au point de départ ».

Escher.

Hofstadter découvre d’autres boucles étranges. Cette fois ci dans le domaine de l’illustration graphique. M.C. Escher, graphiste hollandais [ 1898 – 1971 ] construit les dessins les plus stimulants, intellectuellement, de son temps. « Ses dessins sont construits sur un paradoxe, une illusion, ou un double sens . Ils sont souvent fondés sur les principes mathématiques de symétrie ou de structure ».

Exemple. La lithographie « Mouvement perpétuel ».

Sur le mouvement de montée d’un escalier, en 45 marches, l’escalier reprend « pied » à son début.  Différents niveaux, différents degrés ( comme le nombre de modulations musicales de Bach ) définissent des dessins de complexité différentes. La composition « Mains dessinant » dessinant une autre main est une composition à 2 degrés.

« Ce concept de boucle étrange contient implicitement le concept d’infini ; car qu’est-ce qu’une boucle si ce n’est une forme de représentation d’un processus infini d’une façon finie ? ». «  Des copies d’un thème unique sont souvent assemblées les unes aux autres, formant des réalisations graphiques comparables aux canons de Bach. ». Métamorphosme, d’Escher, en est une célèbre illustration. « on s’éloigne de plus en plus du point de départ pour s’y retrouver tout d’un coup. ».

Gödel.

Devans ces boucles étranges, apparaît l’intuition de paradoxe. Le fini et l’infini sont en conflit. On se rend compte que les mathématiques y sont pour quelque chose. Et effectivement, Douglas Hofstadter nous présent K. Gödel, qui définissa le théorème de Gödel. Gödel découvre en effet une boucle étrange dans les systèmes mathématiques. On ne décrira pas ici ce théorème, formalisé en paraphrase français : « Toutes les formules axiomatiques consistantes de la théorie des nombres incluent des propositions indécidables ». Cette trouvaille formalise un paradoxe déjà ancien, dans l’antiquité. Le fameux paradoxe d’Epiménide, ou paradoxe du menteur. Epiménide, penseur crétois formule : « tous les crétois sont des menteurs ». « Cette assertion bouscule violemment la classique dichotomie des assertions en vraies et fausses, car si vous pensez qu’elle est vraie, vous devriez aussitôt faire marche arrière, et penser qu’elle est fausse. Mais à peine avez-vous décidé qu’elle est fausse, qu’un retournement similaire vous amène à l’idée qu’elle soit vraie »…

La démonstration du théorème d’incomplétude de Gödel s’articule autour d’une assertion mathématique autoréférentielle , de même que le paradoxe d’Epiménide est une assertion auto référentielle du langage. « Le simple fait d’avoir lié ces assertions autoréférentielles à la théorie des nombres était géniale ».

Douglas Hofstadter renvoie à d’autres réflexions auto-référentielles, notamment les recherches de Bertrand Russel, qui s’attache à lever ces contradictions.

« Il ne fait aucun doute que les boucles étranges utilisant des règles se modifiant elles-même, directement ou indirectement sont au cœur de l’intelligence humaine. La complexité de nos esprits est parfois telle que l’on a l’impression que le problème de la compréhension de l’intelligence est insoluble, et que le comportement humain d’un individu ne peut être gouverné par des règles. »

Théorème de Turing, ou le doute dans les machines.

Le théorème de Gödel, en 1931, eut son équivalent dans la théorie du calcul. Alan Turing démontre l’impossibilité des machines à pouvoir totalement formaliser en unités de calcul un problème donné. Il révèle des « trous » inéluctables même dans les ordinateurs les plus puissants que l’on puisse imaginer.

Ce qui ne découragea pas Alan Turing d’inventer les fondements de nos ordinateurs d’aujourd’hui. Une machine pensante est elle alors possible ? Lorsqu’on s’attache à ces règles si complexes, comme les boucles étranges, la machine peut elle être auto référente ? C’est-à-dire modifier elle-même son propre programme ? Définir et appréhender ces règles auto référentes et paradoxales ?

C’est l’enjeu de l’intelligence artificielle sur laquelle Douglas Hofstadter travailla, et resta optimiste. Les visions aussi magiques, ludiques ( dans la musique, le graphisme ..) permettent de prendre de la hauteur sur les entreprises de mécanisation de l’esprit humain. Et de relier l’homme et la machine dans des parallèles jouissifs.

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11 Commentaires

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11 réponses à “Bach, Escher et Godel, ou les paradoxes de l’intelligence artificielle

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  3. jm

    « Toutes les formules axiomatiques consistantes de la théorie des nombres incluent des propositions indécidables »

    En fait ce devrait être: Toutes les FORMULATIONS axiomatiques consistantes de la théorie des nombres incluent des propositions indécidables.

    Et franchement là encore c’est un peu obscure, ambigu et incomplet. Personnellement je préfère quelque-chose comme (en reprenant le même vocabulaire):

    Toutes les formulations axiomatiques assez puissantes pour générer la théorie des nombres (la théorie des entiers naturels telle qu’on l’apprend a l’ école) sont soit inconsistantes (on peut y démontrer une proposition et son contraire) soit incomplètes (certaines propositions ne peuvent pas être démontrées dans cette même formulation axiomatique).

    Il faudrait sans doute aussi parler du second théorème de Gödel et comment Ian Stewart donne avec humour la synthèse des deux:

    « Gödel showed that there are true statements in arithmetic that can never be proved, and that if anyone finds a proof that arithmetic is consistent, then it isn’t! » Ian Stewart

    Notons qu’il faudrait ajouter  » … if anyone finds a proof that arithmetic is consistent WITHIN the formal system that generated it.. »

    Otherwise congrats, that’s a great blog 🙂

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